La paradoja del barbero (teoría de conjuntos)

Encontré esto y me pareció bastante interesante, puede parecer sencillo pero éste clásico bien puede ayudar a pasar el rato pensando un poquito, se llama Paradoja de Russel ò Paradoja del barbero. Descrita por Bertrand Russel en 1901, demuestra que la teoria Original de Conjuntos por Cantor y Frege es Contradictoria.

Supongamos un conjunto que consta de elementos que no son miembros de sí mismos. Un ejemplo descrito, es el conjunto que consta de “ideas abstractas” es miembro de sí mismo porque el conjunto es él mismo una idea abstracta, mientras que un conjunto que consta de “libros” no es miembro de sí mismo porque el conjunto no es un libro. Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de ellos mismos forma parte de sí mismo. La paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de sí mismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo.

Enunciemos la paradoja de otra forma: llamemos M al “conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros”. Es decir

Según la teoría de conjuntos de Cantor, la ecuación (1) se puede representar por



Es decir “Cada conjunto es elemento de M si y sólo si no es elemento de sí mismo”. Ahora, en vista de que M es un conjunto, se puede substituir x por M en la ecuación (2), de donde se obtiene



Es decir que M es un elemento de M si y sólo si M no es un elemento de M, lo cual es absurdo.

AHORA LA VERSION DEL BARBERO.

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:
– En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería de afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero si por el contrario, no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar ¡pero yo soy el único barbero de allí!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió por siempre feliz.